复变函数与积分变换

2021年3月19日更新：由于更换了Katex引擎，故部分公式无法解析，影响观看，具体请发邮件给我获得源文件，我找时间上传网盘

这是我自己看着视频一点点敲出来的复习公式，仅供自己查阅嘻嘻嘻

复数及其运算

有关模、辐角、辐角主值的运算

公式	例子
$	z_1z_2
$	\frac {z_1}{z_2}
$Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)$	$Arg(-1+\sqrt 3i)^4=4Arg(-1+\sqrt3i)$
$Arg(\frac {z_1}{z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)$	$Arg(\frac {-1+\sqrt 3i}{3+4i}=Arg(-1+\sqrt 3i)-Arg(3+4i)$

复数的开方

$^n\sqrt z=|z|^{\frac 1n}·(\cos\frac {\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac {\theta+2k\pi}{n}), k=0,1,2,...n-1$

（其中，$\theta=arg(z)$）

代数式、三角式、指数式转换

代数式$z=x+yi$ 三角式$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ 指数式$z=re^{i\theta}$

（其中：$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=arg(z),x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$）

复数形式的方程映射

将由x、y表示的方程化为复数形式

$$将\left \{ \begin{array}{c} x=\frac{z+\overline z}{2}\\ y=\frac{z-\overline z}{2i} \end{array} \right. 代入原方程求解$$

例：$2x+3y=1$化为复数形式

将式子带入原方程

则有 $2\frac{z+\overline z}{2}+3\frac{z-\overline z}{2i}=1$

整理，得 $(3+2i)z+(-3+2i)\overline z-2i=0$

已知$arg(z)$范围，求其在映射下的象

1. 设 $z=re^{i\theta}$ 并代入映射方程

2. 用 $\theta$ 表示 $arg(w)$

3. $arg(w)={arg(w)\over \theta}·arg(z)$

例：求 $0\lt arg(z)\lt {\pi\over 2}$ 在映射 $w=z^2$ 下的象

设 $z=re^{i\theta}$

则$w=z^2\\\\ \ \ \ =(re^{i\theta})^2=r^2e^{i·2\theta}$

所以$arg(w)=2\theta$

所以$arg(w)={2\theta\over \theta}·arg(z)=2arg(z)$

所以$0<arg(w)<\pi$

常见的四种初等函数

计算复数的三角函数

$$\sin z={e^{iz}-e^{-iz}\over 2i}\\ \cos z={e^{iz}+e{-iz}\over 2}$$

$注意：\sin z、\cos z取值范围为(-∞，+∞)，不再是[-1,1]$

计算复数的对数函数

$Lnz=ln|z|+i·arg(z)+2k\pi i, k=0,±1,±2 ······$

$lnz=ln|z|+i·arg(z)$

计算复数的指数函数

$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$

注意：

1. $|e^z|=e^x$ $e^z的模为e^x$
2. $e^z式周期函数$ $e^{z+2k\pi i}=e^z$

计算复数的幂函数

$$z^\alpha \begin{cases} \alpha为整数，正常计算\\ \alpha为分数，z^{\frac mn}=r^{\frac mn}[\cos{\frac {m(\theta+2k\pi)}{n}}+i{\sin {\frac {m(\theta +2k\pi)}{n}}}]\ \ k=0,1,2,...n-1\\ 其他情况，z^\alpha=e^{\alpha Lnz}=e^{a[ln{|z|}+i\cdot arg(z)+2k\pi i]}\ \ k=0,±1,±2,... \end{cases}$$

当 $\alpha≠0$ 时，$0^\alpha=0$

解析调和

$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ 形式的复函数求导

$f'(z)=u'_x+v'_xi$

$f(z)=?z$ 形式的复函数求导

与实函数求导法则一样

判断解析、可导、有极限之间的关系

判断函数在哪可导与解析

在哪可导：在满足 \left \{ \begin{array}{align} u'_x=v'_y\\ u'_y=-v'_x \end{array} \right. ,处可导 在哪解析：若\left \{ \begin{array}{align} u'_x=v'_y\\ u'_y=-v'_x \end{array} \right. ,结果为 \left \{ \begin{array}{align} \left \{ \begin{array}{c} x=x\\ y=y \end{array} \right. ,则在(x,y)取值范围内解析\\ 其他，则处处不解析 \end{array} \right.

证明函数为调和函数

1. $u''_{xx}、u''_{xy}、u''_{yx}、u''_{yy}$ 都连续
2. $u''_{xx}+u''_{yy}=0$

共轭调和函数

若 $u(x,y)$ 为调和函数，$v(x,y)$ 为 $u(x,y)$ 的共轭调和函数，则 $v(x,y)=\int u'_xdy+\int [-u'_y-(\int u'_xdy)'_x]dx+C$

已知调和函数与共轭调和函数，写出其解析函数

1. 求出$f(x)=u(x,0)+iv(x,0)$

2. 将1结果中的x全换成z

积分

判断C的范围内 $f(z)$ 有几个奇(qi)点，并写出奇点

1. 找出所有 $z$ 不能取的值

2. 判断 1 中的值哪些在C的圈内

没有奇点，求 $∮_c$

没有奇点时，$∮_c=0$

有一个奇点，求 $∮_c$

$∮_c{f(z)\over z-z_0}=2\pi if(z_0)$

$∮_c{f(z)\over (z-z_0)^{(n+1)}}={z\pi i\over n!}f^{(n)}(z_0)$

有多个奇点时分类讨论，然后将结果相加即可。

C为线段，求 $\int _Cf(z)dz$

$$将线段表示成 \left \{ \begin{array}{c} x=x\\ y=?x \end{array} \right. ，的形式，找出\ x\ 的取值变化x:a\to b$$

2. 设 $z=x+yi$ ，并求出 $dz=?dx$
3. 求出 $\int ^b_af(z)dz$

C为圆弧，求 $\int _Cf(z)dz$

$$将圆弧表示成 \left \{ \begin{array}{c} x=a\cos \theta+x_0\\ y=a\sin \theta +y_0 \end{array} \right. ，的形式，找出\ \theta\ 的取值变化\ \theta:\theta _1\to \theta_2$$

$$(其中a为半径，(x_0,y_0)为圆心)$$

2. 设 $z=x+yi=ae^{10}+x_0+y_0i$，并求出 $dz=?d\theta$
3. 求出 $\int ^{\theta_2}_{\theta_1}f(z)dz$

级数

判断级数收敛/发散

令 n\to +∞，看实部与虚部是否都趋近于0 \left \{ \begin{array}{align} 不是：该级数发散\\ 是：进行第二步 \end{array} \right.

看实部级数与虚部级数是否同时收敛 \left \{ \begin{array}{align} 是：该级数收敛\\ 不是：该级数发散 \end{array} \right.

注：

$$若无法进行一二步：对级数取绝对值，看绝对值级数是否收敛，\\若是，则该级数收敛，且可称为绝对收敛(多利用|e^{x+yi}|=e^x这条性质)$$

$$\sum ^∞_{n=0}aq^n\ 在|q|<1时收敛，|q|\ge 1时发散\\ \sum ^∞_{n=1}\frac {1}{n^p}\ 在p>1时收敛，p\le 1时发散$$

求收敛半径

收敛半径：展开点到奇点的最短距离

已知级数在某点收敛，判断其在另一点是否收敛

待求点 \left \{ \begin{array}{align} 在圆内\to 收敛\\ 在圆上\to 不确定\\ 在圆外\to 发散 \end{array} \right.\\ 圆心为展开点，圆经过已知点

展开成泰勒级数，并写出收敛半径

1. 设 b=z-展开点，用b替换函数里的z
2. 对照表里的公式，将函数展开
3. 用 z-展开点，替换回b
4. 根据表写出收敛半径

公式	使用条件	收敛半径R
$e^a=1+a+\frac{a^2}{2!}+···+\frac{a^n}{n!}+···$	无	$+∞$
$\sin a=a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}+···+(-1)^n\frac{a^{2n+1}}{(2n+1)!}+···$	无	$+∞$
$\cos a=1-\frac{a^2}{2!}+\frac{a^3}{4!}+···+(-1)^n\frac{a^{2n}}{(2n)!}+···$	无	$+∞$
$\frac{1}{1-a}=1+a+a^2+···+a^n+···$	$	a
$\frac{1}{1+a}=1-a+a^2-···+(-1)^na^n+···$	$	a

展开成洛朗级数

1. 设 b=z-展开点，用b替换函数里的z
2. 对照表里的公式，判断圆环域是否满足使用条件，
   若满足，则套公式展开
   若不满足，则尝试在第一步结果里先提出 $1\over b$
3. 用 z-展开点 替换回b

公式	使用条件
$e^a=1+a+\frac{a^2}{2!}+···+\frac{a^n}{n!}+···$	无
$\sin a=a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}+···+(-1)^n\frac{a^{2n+1}}{(2n+1)!}+···$	无
$\cos a=1-\frac{a^2}{2!}+\frac{a^3}{4!}+···+(-1)^n\frac{a^{2n}}{(2n)!}+···$	无
$\frac{1}{1-a}=1+a+a^2+···+a^n+···$	$
$\frac{1}{1+a}=1-a+a^2-···+(-1)^na^n+···$	$

留数及留数定理

判断奇点类型

奇点类型		函数特点
非孤立奇点		Ln、ln中使真数为0或负实数的点
孤立奇点	本性奇点	如sin((z+1)/z)、cos(z/(z-1))、e^((z+1)/z)等 复合型中分母为0的点
	可去奇点	(z+1)/z、sinz/z^2等分母为0的点
	极点

例：

① $z_0=-5是f(z)=Ln(z+1)的什么奇点$ -5+1=4，非孤立奇点

② $z_0=-1是f(z)=ln(z+1)的什么奇点$ -1+1=0，非孤立奇点

③ $z_0=1是f(z)=e^{\frac {1}{z-1}}的什么奇点$ 带有复合型，且分母为0，本性奇点

④ $z_0=0是f(z)=\frac {\sin z}{z}的什么奇点$ 化简后分为$f(0)={0\over 0}$，分母为0的一次方，可去奇点

⑤ $z_0=0是f(z)=\frac{z}{\sin ^2z}的什么奇点$ 化简后为为$f(0)={0\over 0^2}$，分母为2-1=1次方，一级极点

⑥ $z_0=-2i是f(z)=\frac{z}{(z+xi)^2}的什么奇点$ 化简后为为$f(0)={-2i\over 0^2}$，分母为2-0=2次方，二级极点

⑦ $z_0=0是f(z)=\frac{1-e^{2z}}{z^4}的什么奇点$ 化简后为为$f(0)={0\over 0^4}$，分母为4-1=3次方，三级极点

注：非孤立奇点只会出现在带有 Ln 和 ln 的式子中

遇到式子中出现 $1+\cos z$ 或 $1-\cos z$ 时，将其进行下列转换后再重复以上步骤

$$\left \{ \begin{array}{c} 1+\cos z=1+\cos 2\cdot {z\over 2}=1+\cos^2\cdot{z\over 2}-\sin^2{z\over 2}=z\cos^2{z\over 2}\\ 1-\cos z=1-\cos 2\cdot {z\over 2}=1-(\cos^2\cdot{z\over 2}-\sin^2{z\over 2})=z\sin^2{z\over 2} \end{array} \right.$$

求孤立奇点处的留数

\left \{ \begin{array}{align} 可去奇点：C_{-1}=0\\ 极点\left \{ \begin{array}{align} 级数为1时，C_{-1}=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\\ 级数大于1时，C_{-1}=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)](n≥级数) \end{array} \right. \\ 本性奇点：将f(z)在z_0处展开成泰勒级数后，C_{-1}等于(z-z_0)^{-1}项前的系数 \end{array} \right.

对应上一小节的最后两题的留数

用留数定理计算积分

1. 找出积分区域内的孤立奇点
2. 判断孤立奇点的奇点类型
3. 计算留数
4. 求出所有孤立奇点的留数和，再乘上 $2\pi i$

例：

$∮_{|z|=1}\frac{1}{\cos\pi z}=2\pi i[{1\over \pi}+(-\frac{1}{\pi})]=0$

傅氏变换

求卷积 $f(t)*g(t)$

1. 若f(t)、g(t)中有u(t),则将u(t)= \left \{ \begin{array}{align} 0,\ \ \ t<0\\ 1,\ \ \ t>0 \end{array} \right. 代入

2. 写出$f(\tau)、g(\tau)$

3. 在$f(\tau)、g(\tau)$中选择一个，用$(t-\tau)$替换$\tau$（尽可能不选含$\sin$和$\cos$）

4. 分情况讨论 t 取不同值时，$f(t-\tau)\cdot g(\tau)$或$f(\tau)\cdot g(t-\tau)$的值

5. 求上步中个情况下的$\int^{+∞}_{-∞}f\cdot gd\tau$

不考╰(*°▽°*)╯

求 $f(t)=\{^{...}_{...}$ 的傅里叶变换 $F(\omega)$

$F(\omega)=\int^{+∞}_{-∞}f(t)e^{-j\omega t}dt$

$\cos\omega=\frac{e^{j\omega}+e^{-j\omega}}{2}$

$\sin\omega=\frac{e^{j\omega}-e^{-j\omega}}{2j}$

$ f(t) $	$F(\omega) $
$$\left {\begin{array}{align}0\ \ \ \ \ \ \ \ ,t<0\Ae^{-\alpha t},t≥0\end{array}\right.\(其中A＞0，α＞0)$$	$\frac{A}{\alpha+j\omega}$
$$\left {\begin{array}{align}Ae^{\alpha t}\ \ ,t<0\Ae^{-\alpha t},t≥0\end{array}\right.\(其中A＞0，α＞0)$$	$\frac{2A\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$
$$\left {\begin{array}{align}A,-{\alpha\over 2}≤t≤{\alpha\over 2}\0,其他\end{array}\right.\(其中A＞0，α＞0)$$	$\frac{2A}{\omega}\sin {\alpha\omega\over 2}$

求 $f(t)=\{^{...}_{...}$ 的傅里叶积分表达式

1. 套公式$$\begin{eqnarray}f(t)&=&{1\over 2\pi}\int^{{+∞}_{-∞}F(\omega)e}{j\omega t}d\omega\&=& {1\over 2\pi}\int^{+∞}{-∞}F(\omega)\cos \omega t d\omega+{j\over 2\pi}\int^{+∞}{-∞}F(\omega)\sin \omega t d\omega\end{eqnarray}$$

2. 判断相加的两部分奇偶性

   奇函数部分直接去掉

   偶函数部分下限编程0，系数乘2

3. 将 $f(t)的\{^{...}_{...}$ 搬运到结果处

4. 去掉结果取值范围中≥、≤里的等于号，单独列出等于时的情况

5. 等于时，结果为左右侧取值之和的一半

6. 合并能合并的情况，使大括号简洁些

例：

求 $f(t)$ 的傅里叶变换 $F(\omega)$

拉氏变换

求 $f(t)=\{^{...}_{...}$ 的拉式变换 $F(s)$

$F(s)=\int^{+∞}_0f(t)e^{-st}$

求 $f(t)=\{^{...}_{...}$ 且 $f(t+T_0)=f(t)$ 的拉式变换 $F(s)$

$F_1(s)=\int^{T_0}_0f(t)e^{-st}dt$

$F(s)=\frac{F_1(s)}{1-e^{-sT_0}}$

求 $f(t)$ 的拉氏变换 $F(s) $

求 $F(s)$ 的拉式逆变换 $f(t)$

用拉式变换解微分方程

不考╰(*°▽°*)╯

用拉氏变换求 $\int^t_0f_1(t-\tau)y(\tau)d\tau=f_2(t)$

不考╰(*°▽°*)╯

已完结…
祝考试及格o(*￣▽￣*)ブ